Portfólio Matemática

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1 Semana

Aula 1 - Lógica, Matemática e linguagem cotidiana (I)

Exercícios da semana 1 - videoaulas 1 e 2

A)Lógica, Matemática e linguagem cotidiana

A matemática tem um raciocínio lógico, caracterizada pela linguagem materna. A linguagem cotidiana é composta, já a matemática apenas tem sentenças declarativas e assume apenas uma sendo ou falso ou verdadeiro.

Mesmo sendo lógica a matemática e afirmativa, mas é importante existir a pergunta ( dai surge as equações, que são perguntas).

Sendo Lógica a matemática ela própria tem uma série de argumentações que justificam uma sentença, seja válido ou não.Faz com que necessite de argumentos para assumir a verdade ou não. A demonstração é outra forma de lógica, sendo um conceito já conhecido pode justificar uma sentença.

B)Texto A

Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na linguagem matemática, recorrendo-se a letras para representar números. Letras representando valores desconhecidos, ou incógnitas, podem transformar perguntas na linguagem cotidiana em afirmações na linguagem matemática.

Tente fazer os exercícios de tradução de uma linguagem na outra sugeridos a seguir.

1. Usando letras para representar números, represente na linguagem matemática:

a) A soma de dois números é 17”

R: X + Y = 17

b) “Um número elevado ao quadrado, depois somado com seu triplo, dá igual a 10”

R: X² + 3.X = 10

c) “A soma de três números naturais consecutivos é igual a 20”

R: X + (X+1) + (X+2) = 20

d) “A soma dos quadrados de três números é menor do que 37”

R: X² + Y² + Z² < 37

e) “A média aritmética de dois números é menor ou igual a sua média geométrica”

R: (X+Y) / 2 ≤ √X.Y

f) “Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”

R: C² + C² = H²

2. As sentenças a seguir representam perguntas.

Reescreva cada uma como uma sentença matemática envolvendo incógnitas:

a) “Qual o número que multiplicado por 7 dá 91?”

R: 7.X = 91

b) “Encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma dá 27”

R: X + (X+1) = 27

c) “Encontrar um número que, elevado ao cubo e depois somado com 15 resulte em 140”

R: X³ + 15 = 140

d) “Encontrar um número que, somado com seu inverso, dê mais do que 2”

R: X + 1/X > 2

3. Traduza cada sentença como um sistema de equações:

a) “Encontrar dois números cuja soma seja 15 e cujo produto seja 14”

R: X + Y = 15 e X.Y = 14

b) “Determinar um número que somado com 3 dá mais do que sete, e que, multiplicado por 4, dá menos que 32”

R: X + 3 > 7 e 4.X < 32

c) Achar um número que, elevado ao cubo, dá mais que 36, e que multiplicado por 7 dá menos do que 42”

R: X³ > 36 e X.7 < 42

4. Reescreva na linguagem corrente cada uma das sentenças matemáticas:

a) x – 3 = 21

R: “Determinar um número que subtraído 3 é igual a 21”

b) 3x = 45

R: “Determinar o triplo de um número que é igual a 45”

c) X² < 4

R: “Determinar o quadrado de um número que seja menor que 4”

d) X² + 5x – 15 = 0

R: “Determinar o quadrado de um número que somado com seu quíntuplo seja igual a 15”

Exercícios da semana 1 - vídeoaulas 3 e 4

Exercícios da videoaula 3

Números: uma visão histórica (I)

Prof. José Luiz Pastore Mello

Leia o texto abaixo e, em seguida, responda as quatro perguntas a seguir.

Como você viu na videoaula, existem infinitos números primos, o que está

demonstrado desde os tempos de Euclides, matemático que viveu por volta de 300

a.C. Um fato curioso que também pode ser demonstrado de maneira simples é o de

que é possível produzir “desertos de números primos” de um tamanho arbitrário

qualquer. Com “desertos de números primos” estamos querendo dizer uma sequência,

de tamanho arbitrário qualquer, de inteiros consecutivos de forma que nessa

sequência não haja números primos. Por exemplo, se estamos interessados em uma

sequência de cinco inteiros consecutivos de forma que nela não haja números primos,

basta exibir a sequência 24, 25, 26, 27 e 28. Observe que 24, 26 e 28 são números

pares e, portanto, não são primos (o único número par que é primo é o 2), 25 é

divisível por 5 (além de 1 e 25), e 27 por 3 e 9 (além de 1 e 27).

1) A sequência exibida no texto não é a única que atende à condição do problema;

existem infinitas outras. Verifique que a sequência 722, 723, 724, 725 e 726,

de cinco inteiros positivos consecutivos, também não contém números primos.

Exiba todos os divisores positivos de cada um dos números dessa sequência.

722 - 1, 2, 19, 38, 361,722

723 - 1, 3, 241, 723

724 - 1, 2, 4, 181, 362, 724

725 - 1, 5, 25, 29, 145, 725

726 - 1, 2, 3, 11, 22, 33, 66, 121, 242, 363, 726

2) Exiba um “deserto de números primos” de tamanho seis, ou seja, exiba uma sequência de seis números inteiros positivos e consecutivos tal que nenhum deles seja número primo.

R: 8.(8+1).(8+2).(8+3).(8+4).(8+5)+8=1235528

A sequência fica: (1235528, 1235529, 1235530, 1235531, 1235532, 1235533)

3) Veja um teorema sobre o assunto que você está investigando:

Seja n um número inteiro maior do que 1. O primeiro número de um “deserto de números primos” de tamanho p pode ser obtido por meio da conta n.(n+1).(n+2).(n+3)....(n+p-1)+n.

Por exemplo. Se queremos exibir um deserto de números primos de tamanho p=4, escolha um valor de n como, por exemplo n=2, e faça a conta 2.(2+1).(2+2).(2+3)+2. O número 122, que é o resultado da conta, será o primeiro número de um deserto de primos de tamanho 4. Nesse caso, o deserto a ser exibido é 122, 123, 124, 125. Se tivéssemos escolhido outro valor para n que não o 2, teríamos encontrado outro deserto de números primos de tamanho 4.

Usando o resultado desse teorema, encontre um deserto de números primos de tamanho 5, e que seja diferente dos dois que já foram exibidos nas atividades anteriores.

R: 3.(3+1).(3+2).(3+3).(3+4)+3

A sequência fica (2523, 2524, 2525, 2526, 2527)

Exercícios da vídeoaula 4

Números: uma visão histórica (II)

1) Na vídeoaula você viu que todos os papeis da chamada “série A” são retângulos que, quando dobrados ao meio pelo eixo de simetria perpendicular ao maior lado, geram retângulos semelhantes ao retângulo original. Dizendo de outra forma, são retângulos cuja razão entre o maior e o menor lado é igual ao número irracional √2 .

A maior folha retangular da série A de papel, denominada folha A0, além de atender à condição que define a série, possui 1 m2 de área. Determine o comprimento e a largura do papel A0.

R: Solução:

I - X . Y= 10 000

II - X / Y = √2

X = 10 000/Y, substituindo em II, temos:

10 000/Y = √2.Y = √2.Y² = 10 000

Y² = 10 000/√2 = 10 000.√2/2 = 5 000. √2

Y = √( 5 000. √2) ≈ 84,0896 cm

Colocando o valor encontrado para Y substitui em I, fica:

I-

X . (√( 5 000. √2) = 10 000

X = 10 000/ (√( 5 000. √2) = 10 000.(√( 5 000. √2)/ 5 000.√2

X = (10 000.√( 5 000. √2)).√2/10 000 = √( 5 000. √2)).√2 ≈ 118,920 cm

Provando...

X . Y = 10 000 → √( 5 000. √2).√( 5 000. √2)).√2 = 50 000.√2.√2=10 000

2) Revendo a definição de retângulo áureo (ou retângulo de ouro) dada na vídeo aula, determine o valor de x no retângulo indicado abaixo para que ele seja áureo.

R: Solução

Valendo da semelhança de retângulos temos:

8/(X-8)=X/8 → X²-8X-64=0

X' = -4 + 4√5 ≈ 4,944

X'' = -4 – 4√5 ≈ - 12,944

ou pela razão áurea, assim:

X' = 8.1,618= 12,944

X'' = 12,944 – 8 = 4,944

O valor de X no retângulo deve ser 12,944 para ele ser um retângulo áureo.

Exercícios da semana 2 / vídeoaulas 5 e 6

TEXTO 1

Uma das primeiras e mais importantes civilizações que começou a trabalhar intensamente a Terra foi a egípcia. Trata-se de um povo que se estabeleceu numa região com características geográficas muito particulares: um amplo deserto cortado por um extenso rio — o rio Nilo — que periodicamente, em suas cheias, fertiliza as suas margens.

Matemática / Exercícios das Videoaulas 5 e 6

EXERCÍCIO 1

Faça uma pesquisa sobre o Teorema de Pitágoras. Escreva seu enunciado, apresente e discuta uma demonstração e, ao final, crie um exercício acompanhado de sua resolução.

A pesquisa pode ser feita, por exemplo, no Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (7a Série, 8o Ano, Volume 2)

R: A soma do quadrado da medida dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa, ou a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Nomeando os catetos de a e b e a hipotenusa de c, o teorema é representado pela seguinte expressão: c² = a² + b²

Ou ainda por: h² = c² + c²

Demonstração:

considerando um triangulo retângulo onde seus catetos tenham a mesma medida, assumiremos a unidade 1 (um), temos que a relação para este triângulo é de √2, assim:

h² = 1² + 1² → h² = 2 → h = √2, sempre que os catetos forem iguais a hipotenusa será √2 vezes a medida dos catetos.

Considere o triângulo acima abc.

Formando um novo com o mesmo ângulo reto temos o triangulo acd.

Por semelhança temos:

x/z = ab/x

x² = z.(ab)

y/w = ab/y

y² = w.(ab)

somando x² com y² temos:

ab.z + ab.w ou ab.(z + w), veja que z + w é exatamente ab, então é o mesmo que ab².

Fica assim: x² + y ² = ab²

Matemática / Exercícios das Videoaulas 5 e 6

TEXTO 2

No vídeo de nossa aula 5 discutimos que um prisma pode ser construído a partir do empilhamento de figuras planas, no caso de polígonos.

Uma imagem usada para isso foi o empilhamento de cartas. Para o volume desses sólidos geométricos aplicamos um princípio elaborado pelo geômetra italiano Francesco Bonaventura Cavalieri (1598–1647). Cavalieri, seguindo uma linha de raciocínio análoga à de Arquimedes,

Galileu e Kepler, criou uma idéia para interpretar os pequenas quantidades indivisíveis. Na sua concepção a linha era formada por pontos sem comprimento, a superfície por infinitas linhas sem largura e os sólidos eram interpretados por uma soma de superfícies sem profundidade. No seu entendimento era evidente concebermos as figuras planas como tecidos compostos de fios paralelos e os sólidos como livros, que são pilhas de folhas paralelas.

As três figuras espaciais possuem o mesmo volume: mesma área da base e mesma altura.

Com base nesse princípio discutimos que o volume do prisma é:

V = Abase × H

EXERCÍCIO 2

As embalagens dos produtos tornaram-se um tema social relevante, particularmente quando o assunto é preservação do meio ambiente.

Além do tipo de material com que são fabricadas, as embalagens devem ser bem dimensionadas, isto é, ela deve ter a melhor relação volume interno/quantidade de material utilizado. Além disso, na escolha do seu formato, deve-se considerar que, quando embaladas coletivamente, seja menor espaço entre elas. O homem encontrou uma situação similar a esta na natureza: a construção dos alvéolos das abelhas.

Observando essa forma prismática dos alvéolos percebeu que estes respeitam uma exigência: a de permitir que com uma mesma quantidade de cera se construa um recipiente com maior volume para acondicionar o mel. O fato das paredes dos alvéolos serem comuns, permitindo que não haja espaços vazios entre elas, remete-nos ao problema

da pavimentação do plano, solucionado quando usamos triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Como a nossa situação é espacial podemos imaginar a “pavimentação do espaço” com poliedros, particularmente com os prismas regulares retos de base triangular, quadrangular e hexagonal, como apresentados na figura.

Considere que você possui uma folha de papel com dimensões 12 cm x 36 cm que servirá como superfície lateral de um prisma e que esse prisma deverá possuir o maior volume possível. Antes da confecção do prisma você deve fazer um projeto e calcular osuma das possibilidades da base; triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular.

Ao fim do projeto preencha a tabela abaixo e justifique o modelo adotado. Considera por base a maior dimensão do papel.

Justificativa:

R: para o triangulo temos:

A=b.h/2

h=√3.4/2 = 2√3, fica:

A=4.2√3/2 = 4√3

V = 144√3 cm³

Para o quadrado temos:

A=l.l

A= 3.3 = 9

V = 324 cm³

para o hexágono temos:

como cada lado do hexágono é 2, sabemos que a área de cada triângulo inscrito no hexágono é:

A¹=2.√3/2, pois a altura do apótema é 2.√3/2=√3

Para o hexágono agora fica:

A6 = 6.√3 portanto sendo a maior área dos três prismas, logo seu volume será

V = 216√3 cm³ ou aproximadamente 374,12 cm³.

Exercícios da semana 2 / vídeoaulas 7 e 8

Álgebra – Uma introdução

Números e letras de mão dadas

Texto 1

Os símbolos que usamos em Matemática transformaram-se bastante ao longo da história. Na Grécia antiga, por exemplo, ao estudar números e equações a abordagem costumava ser geométrica: o “quadrado de um número” era associado a um quadrado cujo lado era o referido representava, então, um quadrado de lado x; a.b representada um retângulo de lados a e b, x³ era associado a um cubo de aresta número: x, e assim por diante.

Exercício

Usando esta abordagem geométrica, construa figuras e por meio de suas áreas, verifique a validade das seguintes relações algébricas (suponha todos os números representados positivos)

1. a(x + y + z) = ax + ay + az

2. (x + a) × (x + b) = x² + ax + bx + ab

3. (a – b)² = a² + b² – 2ab

4. (x²– y²) = (x + y) × (x – y)

5. (x – a) × (x – b) = x² – (a + b)x + ab

6. (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz

7. (x + y + z) × (x – y – z) = x² – (y + z)²

Texto 2

A fórmula pela resolução da equação de segundo grau ax² + bx + c = 0 foi deduzida no século XII pelo matemático indiano Bhaskara Akaria. As duas raízes possíveis são x = –b ± √b2– 4ac

Para chegar a tal resultado, basta fatorar a expressão ax² + bx + c, chegando-se a a(x –r1 ) × (x – r2 ) = 0, de onde decorre que um dos fatores deve ser zero.

Como a ≠ 0, segue que x – r1 = 0 ou x – r2 = 0 , ou seja, x = r1 ou x = r2

Por exemplo,

a. se x² – 8x + 15 = 0,

fatorando chegamos a (x – 3)(x – 5) = 0

ou seja, x = 3 ou x = 5

b. se 3x² + 24x + 45= 0, então teremos

3 × (x2 + 8x + 15) = 0 → 3 × (x + 3) × (x + 5) = 0

e daí segue que x = –3 ou x = –5.

c. se tivermos x² + 6x + 9 = 0, ou seja, (x + 3)² = 0, então x + 3 = 0 e x = –3

d. se tivermos 5x²– 30x + 45 = 0, então, 5 × (x²– 6x + 9) = 0, ou seja, 5 × (x – 3)² = 0, de onde resulta x – 3 = 0 , e então, x = 3 (raiz dupla)

e. se tivermos x²– 6x + 7 = 0, ou seja, x²– 6x + 9 = 2 (somando 2 aos dois membros), resulta (x – 3)² = 2, ou seja: x – 3 = √2 ou então, x – 3 = –√2,

ou seja,

A intuição de Bhaskara foi analisar a possibilidade de resolver qualquer equação de segundo grau ax2 + bx + c = 0 por meio da transformação do primeiro membro em um quadrado de um binômio. Assim, sempre teríamos um quadrado igual uma expressão no segundo membro, e daí é que surge a fórmula

Exercícios

1. Procure um livro em que a dedução da fórmula de Bhaskara seja realizada e acompanhe passo a passo para entender como ela surge. Pode ser, por exemplo, o Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (8a Série, 9o Ano, Volume 1, p. 58 a 86).

2. Resolva as equações abaixo, fatorando o trinômio do primeiro membro, como nos exemplos no texto B:

a. x² – 4x + 4 = 0

R: x.x – 2.2.x + 2.2 = 0

(X – 2) . (X – 2) = (X - 2)²

b. 36 – 12x + x² = 0

r: 6.6 – 2.6.x + x.x = 0

(X – 6) . (X – 6) = (X - 6)²

c. 5x² + 10x + 5 = 0

r: 5.(X.X + 2.1.X + 1.1) = 0

5 . (X + 1) . (X + 1) = 5. (X + 1)²

d. x² – 10x + 25 = 16

R: X.X – 2.5.X + 5.5 = 4.4

(X – 5) . (X – 5) = 16 = (X – 5)²= 16

e. x² + 14x + 49 = 25

R: X.X + 2.7.X + 7.7 = 5.5

(X + 7) . (X + 7) = 25

f. x2 – 4x + 4 = 0

r: X.X -2.2.X + 2.2 = 0

(X – 2) . (X – 2) = 0

g. x2 – 4x +1 = 0

r: X.X – 2.2.X + 2.2 = 3

h. 3x2 + 18x + 27 = 0

r: 3. (X.X + 2.3.X + 3.3 = 0

(X + 3) . (X + 3). 3 = 0

i. 3x2 – 18x + 18 = 0

r: 3 . (x.x – 2.9.x + 9.9) = 63

(x – 9) . (x – 9) . 3 = 63

Texto 3

Para as equações gerais de 3° e 4° grau existem fórmulas para determinar as soluções por meio dos coeficientes.

Nos Cadernos dos Professores de Matemática da Secretaria Estadual de Educação (3a Série do Ensino Médio, volume 1, p. 60 a 82) podem ser encontradas explicações sobre como chegar a tais fórmulas, mas elas têm muito pouco interesse na prática, por serem um pouco complicadas.

Do ponto de vista prático e didático, é mais interessante buscar resolver tais equações por meio de fatorações. Usando-se o fato de que, no conjunto dos números reais ou no dos complexos, um produto é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for igual a

zero, temos:

Se a ≠ 0 e a(x – r1) . (x – r2) . (x – r3) … = 0 então as raízes são r1, r2, r3..., porque são os valores que zeram, respectivamente, cada um dos fatores do polinômio fatorado.

Exercícios

1. Utilizando as ideias acima, fatorar os polinômios e achar as soluções

reais das seguintes equações.

a. x³ – 5x²

R: x. (x.x – 5x) = 0

(x² – 5x) = 0

x = 0

x = 5

b. 3x6 – 243x2

R: 3x . ( x5 – 81x) = 0

x = 0

( x4 – 81) = 0

x = 4√81 = 3

c. 2x3 – 54 = 0

R: 2. (x³ – 27) = 0

x = 0

x = 3√27 = 3

d. (x–3) × (x² – 4) = 0

R: x³ – 3x² – 8x = 0

x. (x² – 3x – 8) = 0

∆ = -3² – 4.1.8

∆ = 9 + 32

∆ = 41

x' = -(-3) - √41/2 = 3 - √41/2

x'' = 3 + √41/2  

Exercícios / aulas 9 e 10

Exercícios da aula 9

1. Observe os gráficos desenhados no plano cartesiano. A função f tem equação: f(x) = - 0,5x + 2 . Qual é a equação de g?

R: Como a reta g(x) é simétrica a reta f(x), temos: g(x) = - f(x)

f(x) = - 0,5x + 2 g(x) = - ( -0,5x + 2) = 0,5x – 2

A equação é g(x) = 0,5 - 2

2. Desenhe em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções:

f(x) = x², g(x) = x² – 3 e h(x) = (x – 3)²

Descreva as transformações que o gráfico de f deveria sofrer para coincidir com o gráfico de g ou com o gráfico de h.

R: Para f(x) coincidir com g(x) temos que deslocar a equação para baixo, devemos adicionar uma constante de valor – 3 para obtermos o deslocamento de f(x) ficando igual a g(x).

3. Desenhe num mesmo plano cartesiano as parábolas que representam as funções f(x) = x² e g(x) = (x – 3)² – 3.

Compare os dois gráficos e descreva as transformações que podemos impor ao gráfico de f(x) para que ele coincida com o gráfico de g(x).

R: temos que adicionar uma constante para que a parábola desloque 3 unidades para a direita no eixo x, ficando (x – 3)². Agora para que a mesma parábola desloque 3 unidades para baixo no eixo y devemos adicionar uma constante com valor -3. Sendo assim temos que f(x) = g(x).

4. Dada a função f(x) = −3x² + 2x − 5, obtenha a equação da função g cujo gráfico é uma parábola simétrica à parábola de f em relação ao eixo x.

R: Como é uma simetria podemos aplicar o seguinte: g(x) = - f(x).

−3x² + 2x − 5 = 3x² – 2x + 5

Exercícios da aula 10

1. Desenhe num mesmo plano cartesiano as parábolas que representam as funções f(x) = x² e g(x) = (x – 3)² – 3.

Compare os dois gráficos e descreva as transformações que podemos impor ao gráfico de f(x) para que ele coincida com o gráfico de g(x).

R: temos que adicionar uma constante para que a parábola desloque 3 unidades para a direita no eixo x, ficando (x – 3)². Agora para que a mesma parábola desloque 3 unidades para baixo no eixo y devemos adicionar uma constante com valor -3. Sendo assim temos que f(x) = g(x).

2. A expressão x² – 6x + 8 pode ser assim fatorada:

x² – 6x + 9 – 9 + 8

(x – 3)² – 1

Adicionamos e subtraímos 9 unidades, pois 9 é o quadrado de 3, que é a metade de 6.

Descreva as translações necessárias para que o gráfico da função y = x² se sobreponha ao gráfico da função y = (x – 3)² – 1

R: Para x devemos adicionar 3 unidades a direita ou seja (x – 3)² no eixo x, para que o gráfico desloque 1 unidade para baixo no eixo y devemos adicionar a constante -1.

3. Dada a função quadrática g(x) = x²+ 4x – 3, escreva-a na forma y = (x+ k)² + p e determine as coordenadas do vértice da parábola que representa g(x) no plano cartesiano.

R: Fatorando temos: (x+2).(x+2) – 3 = x.x + 2x +2x + 4 -4 -3

(x+2)² -7. Sendo assim os pontos do vértice são: para x= -2 e para y= -7. vale lembrar que quando a parábola desloca para a esquerda a constante é positiva e assumirá valor menor.Exercícios da 



Semana 3 / vídeoaulas 11 e 12

Exercícios da aula 11

1. Encontre uma fórmula recursiva e uma fórmula posicional para determinar o número de pontos da n-ésima figura em cada sequência de números figurados indicada a baixo.

R:

n=1 n=2 n=3 n=4

●●●●

●●● ●●●●

●● ●●● ●●●●

● ●● ●●● ●●●●

3 5 7

Fórmula recursiva:

an = an-1 + (an – an-1) , ou seja, um termo é igual ao seu anterior somado da diferença entre ele e seu anterior.

Fórmula posicional:

an = n² +n -n, ou seja, um termo é o quadrado da sua posição + a sua posição – a sua posição.

n=1 n=2 n=3 n=4

●●●●

●●●●

●●● ●●●●

●●● ●●●●

●● ●●● ●●●●

●● ●●● ●●●●

● ●● ●●● ●●●●

R: neste caso temos que a diferença das unidades segue uma sequência aritmética, assim:

(an2-an1=5), (an3-an2=9), (an4-an3=13), das diferenças temos: (5, 9, 13). A nova relação traz como raiz o 4, pois 9 – 5 = 4. Para o próximo termo fazemos assim:

(an5-an4) – (an4-an3) = 4

(an5-28) – (28-15) = 4

an5 – 56 + 15 = 4

an5 = 4 + 56 – 15

an5 = 45

an5 = 4 + 2.an4 – an3

Fórmula posicional

(1, 6, 15, 28) – I

(5, 9, 13) – II são as diferenças de I e constante 4.

Para II temos:

II1=5

II2=5+4(é a constante) = 9

II3=II2+4 = 5+4+4 = 13

IIn=II1+ (n-1).4 = 5+4n-4 = 1+4n

Para I temos:

I1=1

I2=I1+II1=1+5=6

I3=I1+II1+II2=1+5+9=15

I4=I1+II1+II2+II3=1+5+9+13=28

portanto para In=I1+ Soma da sequência menos o ultimo termo de II. Como o ultimo termo de II é 1 + 4n então o penúltimo é II(n-1)= 1 + 4.(n-1) = -3+4n e na soma fica:

S=(5+(-3+4n)).(n-1)/2

S=(5-3+4n).(n-1)/2

S=(2+4n).(n-1)/2

S=2n-2+4n²-4n/2

S=-2n-2+4n²/2 = -n-1+2n², logo a equação posicional é:

In=1+(-n-1+2n²)

In=1-n-1+2n²

In=-n+2n² = n.(2n-1)

Exercícios da aula 12

1. A sequência (-10, -6, -2, 2, 6, 10, ...) é uma progressão aritmética de 1a ordem porque a diferença entre um termo (a partir do 2o termo) e o anterior é constante. A sequência (3, 5, 9, 15, 23, ...) é uma progressão aritmética de 2a ordem porque a diferença das diferenças (a partir do 2o termo) é constante. Determine uma fórmula posicional para a determinação do n-ésimo termo de cada uma dessas sequências.

( –10, –6, –2, 2, 6, 10, ... )

+4 +4 +4 +4

R: Considerando que o nosso primeiro termo é -10 temos que:

a2 = a1 + c, onde c é a constante ou razão

.

..

…

….

a5 = a1 + 4.c, nota-se que para cada n multiplica-se c por (n-1) ou pela posição anterior:

an = a1 + (n-1).c substituindo pelos dados temos:

an = -10 + (n-1).4 = -10 + 4n -4

an = -14 + 4n

( 3, 5, 9, 15, 23, 33, ... )

+2 +4 +6 +8 +10...

separando as progressões 1a e 2a temos:

1a ordem

b1=2

b2=4

b3=6

b4=8

b5=10

logo a fórmula posicional é bn = 2.n

note que a relação para a progressão de 2a ordem é:

a1=3

a2=3+b1

a3=3+b1+b2

a4=3+b1+b2+b3

a5=3+b1+b2+b3+b4

a6=3+b1+b2+b3+b4+b5

an=3+(b1+b2+...+b(n-1))

temos que para encontrarmos an devemos acrescentar ao seu primeiro termo a soma da progressão de 1a ordem, devemos lembrar da propriedade da soma da progressão que é: S= (b1+bn).n/2, porém é necessário fazer um ajuste pois na relação temos que para an=3+(b1+b2+...+b(n-1)), devemos desconsiderar o ultimo termo bn e fazer a soma até b(n-1). Então a soma fica: S=(b1+b(n-1).(n-1)/2

Agora devemos encontrar o penúltimo termo da progressão b, que é b(n-1)=2.(n-1), substituindo na soma: S=(b1+2.(n-1)).(n-1)/2

Resolvendo a soma, fica:

S=(2+2(n-1)).(n-1)/2

S=(2+2n-2).(n-1)/2

S=(2n+2n²-2n-2-2n+2)/2

S=2n²-2n/2=n²-n

portanto para encontrar o n-ésimo termos a relação é: an=3+n²-n ou an=a1+n²-n

Videoaulas 13 e 14 - Médias para todos os fins

Considere que a taxa de rendimento de um fundo de renda fixa tenham sido 10% no primeiro quadrimestre, 20% no segundo e 15% no terceiro. Determine a taxa média de rendimentos anuais admitindo regime de capitalização composta entre os quadrimestres.

Tx=3x1.x2.x3

Tx=310.15.20

Tx=33000

Tx=1033

Tx=14,42%

3. Raquel tirou 3 na primeira prova de matemática, e 9 na segunda prova. Atílio tirou 5 na primeira prova e 7 na segunda. Pede-se:

a. Qual a média aritmética das notas de Raquel e de Atílio? E a geométrica?

R: Ma Raquel = 3+92= 6                  Ma Atílio = 5+72= 6

Mg Raquel =3.9  = 5,19               Mg Atílio = 5.7 = 5,91

b. Calcule o desvio padrão das notas de Raquel e o desvio padrão das notas de Atílio. Em seguida, utilize os resultados para decidir qual dos dois alunos teve desempenho mais homogêneo nas provas de matemática.

R: D = (x-m)² + (y-m)²2D Raquel = -3² + 3²2 = 3                             D Atílio = -1² + 1²2= 1

Atílio teve um rendimento mais homogêneo que Raquel.

Videoaulas 15 e 16 - Probabilidade e estatística (I) e (II)

Exercícios

A tabela seguinte apresenta a distribuição dos salários pagos por duas empresas a seus funcionários.

a)Qual é o valor médio dos salários pagos pela empresa A e pela empresa B

b)  Qual é a mediana dos salários pagos por cada empresa.

1. Empresa A: M = (6.1000 + 8.2000 + 12.3000 + 16.4000 + 6.5000 + 2 . 6000) / 50                                M = ( 6000 + 16000 + 36000 + 64000 + 30000 + 12000) / 50

                            M = 164000 / 50

                            M = 3280

O salário médio da empresa A é de R$ 3280,00.

Empresa B : M = ( 4.1000 + 9.2000 + 14.3000 + 11.4000 + 8. 5000 + 4.600) / 50                     M = ( 4000 + 18000 + 42000 + 44000 + 40000 + 24000) / 50

                    M =  1720000 / 50

                   M = 3440

O salário médio na empresa B é de R$ 3440,00

2. Me=3.000+4000/2 = 7.000/2= 3500.

A mediana dos salários pagos pelas empresas A e B é R$ 3500,00

1- Se a altura média de uma amostra, considerada normal, de pessoas é igual a 1,60 m e o desvio padrão das medidas das alturas é 0,20 m, qual é o porcentual da amostra contida entre 1,60 m e 1,80 m, isto é, no intervalo [ x, x + 0 ] ?

O percentual é de 34,13%%, pois, de 1,60m para 1,80m é exatamente um desvio padrão.

2 – No caso das alturas das pessoas cuja média é 1,60 m e o desvio 0,20 m, qual é o percentual de pessoas da população com altura entre 1,60 m e 1,70 m?

O Percentual é de 19,15%%, pois a de 1,60 m para 1,70 m corresponde a meio desvio padrão.

3- Se a média aritmética das alturas das pessoas de uma amostra representativa é igual a 1,60 m, com desvio padrão de 0,20 m, qual é a probabilidade de sortearmos uma pessoa com altura entre:

a) 1,60 m e 1,75 m? b) entre 1,75 m e 1,85 m? c) 1,50 m e 1,65 m?

• a) A probabilidade é de 27,44%. pois de 1,60 m para 1,70 m corresponde a 3/4 do desvio padrão.
• b)  De 1,60 para 1,75 m a probabilidade é de 27,44% de 1,60 para 1,85 m corresponde a 5/4 do desvio padrão, portanto a probabilidade nessa faixa é de 39,44%, então, a probabilidade de 1,75 m e 1,85 será de 39,44% – 27,44% = 12%.
• c) A probabilidade de 1,50 m para 1,60 m é a mesma que de 1,60 para 1,70 m, ou seja, de 19,15%. Como de 1,60 m para 1,65 m corresponde a 1/4 do desvio padrão temos que a probabilidade é de 9,87%, Dessa forma a probabilidade entre 1,50 e 165 é  19,15% + 9,87% = 29,02%.

4- Dentro de quais limites de altura, simétricos em relação à média, encontramos 95% da amostra? Em outras palavras, quais são os limites do intervalo de alturas referentes a um intervalo de confiança de 95%?

Seria 1,96 do desvio padrão, ou seja, 1,96 * 0,20 m= 0,39 m, então temos, de 1,60 m – 0,392 m = 1,208 m e 1,60 m + 0,392 = 1,992 m, portanto, o limite é de, aproximadamente, 1,21 m e 1,99 m.

Videoaulas 17 e 18 - Expoente e logaritmos (I) e (II)

Para avaliação das aulas 17 e 18 da Semana 5 da disciplina, escreva um resumo pessoal, de 10 a 20 linhas, sobre o significado do tema tratado, registrando em que as aulas contribuíram para revelar o papel da Matemática na compreensão da realidade. Publique sua resposta no Portfólio da disciplina.

Texto A

Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associando-os a números menores. Em vez de 107 ou 10-7, penso nos expoentes 7 ou no -7.

O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa o valor de N: log N = n   quer dizer que 10n = N.

Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base 10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se

N = ax  então x = logaritmo de N na base a = logaN.

De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os valores aproximados de tais expoentes.

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• Sendo dados os valores aproximados  log 2 = 0,30  e   log 3 = 0,47, preencha a tabela abaixo:

N	N = 10n	n    (log N)
1	1 = 100	0
2	2 = 100,30	0,30
3	3 = 100,47	0,47
4	4 = 100,60	0,60
5	5 = 100,69	0,69
6	6 = 100,77	0,77
8	8 = 100,90	0,90
9	9 = 100,95	0,95
10	10  = 101	1
12	12 = 101,07	1,07
15	15 = 101,17	1,17
18	18 = 101,25	1,25
20	20 = 101,30	1,30
27	27 = 101,43	1,43
30	30 = 101,47	1,47
	32=
36	36 = 101,55	1,55
40	40 = 101,60	1,60
60	60=101,77	1,77
100	100 = 102	2
300	300 = 102,47	2,47
400	400 = 102,60	2,60
1000	1000 = 103	3
3000	3000 = 104,47	4,47
9000	9000 = 104,95	4,95
10000	10000 = 104	4
50000	50000 = 104,69	4,69
100000	100000 = 105	5

1. a) cos x =3/5 b) sen x=4/5

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2- Resumo

Nesta aula o professor abordou o conceito de logaritmo e como ele pode ser utilizado para simplificar números que são muito grandes, o logaritmo foi descoberto no seculo XVll,é uma palavra de origem grega, foram criadas tabelas para melhor resolver estes cálculos complicados,os exemplos mais comuns onde o  logaritmo é muito utilizado é na escala de Ritcher, para medir terremotos,para medir a acidez do estômago para medir marés,etc….

Exercícios da semana 5 – vídeo aulas 19 e 20

Aula 19

Questão 1 –  Observe a representação da circunferência trigonométrica com a extremidade final do arco de medida x assinalado.

Determine o valor de:

Aula 20

Questão 3 –   O gráfico seguinte apresenta, de forma simplificada, as alturas das marés altas em certo ponto do litoral. Nesse gráfico, y = 0 representa a linha sobre a qual estão registradas observações da maré  de altura média.

A equação que podemos escrever para representar esse gráfico é:

y = 0,5 cos

Nessa equação, x é o dia de observação e y é a altura, em metros, da maré alta nesse dia de observação. Note que há uma linha horizontal traçada por y = 0,25 m, e que essa linha cruza o gráfico em vários pontos. Quais são as abscissas desses pontos, ou, em outras palavras, em quais dias, no período considerado, foram observadas marés com 0,25 m de altura acima da média?

0,25=0,5 cos [(2π/15)x]

cos [(2π/15)x]=0,25/0,5

cos [(2π/15)x]=0,5

Exercícios da semana 6 – vídeoaulas 21 e 22

.IDEIAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO NA ESCOLA BÁSICA

Texto A

São duas as ideias fundamentais do Cálculo: a de Derivada e a de Integral.

A Derivada é uma medida da rapidez com que uma grandeza cresce ou decresce. A

forma mais simples de crescimento é crescer de modo uniforme, a taxas constantes. Quando

uma grandeza é diretamente proporcional a outra, então ela uniformemente com a outra, ou

seja, a taxa de crescimento é constante. Por exemplo, se compramos 3m de um fio e pagamos

15 reais, então por 7 metros pagaremos 35 reais, ou seja, o custo de cada metro é 5 reais e o

custo total C na compra de x metros é igual a 5x: C = 5x. O gráfico de C em função de x é uma

reta.

Naturalmente, essa não é a única forma de crescimento.

Se uma criança de 1 ano tem 10kg de massa, não é razoável esperar que, aos 5 anos

tenha 50kg, que aos 10 anos tenha 100kg, que aos 20 anos tenha 200kg…

A taxa de crescimento, ou seja, o crescimento na massa por ano a mais de vida, não é

constante. No início, o crescimento é mais rápido; depois, diminui a rapidez e tende a

estabilizar-se na idade adulta.

Cresce a taxas constantes

Cesce a taxas decrescentes

Cresce a taxas crescentes

Exercício I

Em cada caso, identifique se a taxa de crescimento é constante, é crescente ou é

decrescente:

1. O crescimento de uma criança com a idade (altura em função do tempo)

R: DECRESCENTE

2. A massa (o peso…) de uma criança em função da idade

R: DECRESCENTE

3. A pressão atmosférica quando descemos verticalmente no mar (a cada 10m, a

pressão aumenta de 1 atmosfera)

R: CONSTANTE

4. A massa m de uma substância radioativa que se decompõe, reduzindo-se à metade

do valor inicial 16kg a cada 100 nos (a taxa é a diminuição da massa por ano).

R:CRESCENTE

5. A altura de um eucalipto, em função do tempo de vida (após um crescimento

inicial mais rápido, ela se aproxima de 0,5 metro por ano (entre 20 e 40 anos),

tendendo depois a estabilizar-se.

R:DECRESCENTE

Analise cada uma das situações abaixo em termos da rapidez de crescimento ou

decrescimento. Procure esboçar um gráfico para representar as grandezas envolvidas

em cada caso.

1. Um carro de fórmula 1 aumenta sua velocidade de 0 a 100km/h em 5 segundos.

2. Para cozinhar arroz, costuma-se colocar 2 copos de água para cada copo de grãos.

3. Uma pessoa de 120kg faz um regime que a leva a perder 5kg por semana.

4. A população de um país cresce a uma taxa de 3 milhões de habitantes por ano.Texto B

Nas vídeo aulas foram os conceitos de derivada e integral de uma função f(x): o primeiro

representa a rapidez com que a função varia, entendida com a inclinação da reta tangente ao

gráfico da função em cada ponto; o segundo representa a área da região situada entre o

gráfico de f(x) e o eixo x.

Estes elementos se tornaram extremante úteis na abordagem matemática dos fenômenos

físicos.

A cinemática é aquela parte da física que busca uma descrição matemática do movimento.

Posição (s), velocidade (v), aceleração (a) e tempo (t) são as principais variáveis usada para

modelar as diferentes situações.

Dada a velocidade em função do tempo , a taxa de crescimento ou decrescimento de v(t)

é a aceleração a; a área do gráfico sob v(t) representa a variação da posição s, ou seja, o

espaço percorrido pelo móvel.

Considere então um movimento onde a velocidade assume os valores de acordo com o gráfico

abaixo:

1. A velocidade é constante?

R: Sim é CONSTANTE, entre BC.

2. Quanto vale o espaço percorrido do tempo 0 até o tempo 45?

R: 360 m

3. Quanto vale a aceleração nos trechos AB, BC e CD?

R:AB= 0,4 m/s²

BC=0

CD=0,17m/s²

Exercícios da semana 6 – vídeoaulas 23 e 24

Exercícios

1. Considere uma esfera de isopor de 20 cm de diâmetro, que está sendo usada para

representar a Terra, cujo raio é de aproximadamente 6371 km. Determine a escala de

comprimentos utilizada nessa representação.

R: Diâmetro = 20 cm

Raio= 6371 km

Escala= 6371 10cm =637,1 km/cm